Sucesiones y series

Sucesiones

Se define como una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos.

Generalmente se trata de una colección de objetos o eventos con un orden establecido, de manera que tienen un primer miembro, un segundo miembro, y así sucesivamente hasta el miembro n.

a1, a2, a3, , an

Más formalmente, una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos y cuyo rango es el conjunto de los números reales. Podemos indicar una sucesión mediante: {an}n=1 o {an}

Representación de una sucesión

Se puede especificar una sucesion de las siguientes maneras:

Por medio de sus términos
1, 4, 7, 10, …
Mediante su fórmula explícita para el n-ésimo término
an= 3n-2 , n1
Por fórmula recursiva
a1=1an=an+1+3n2

Especificar la funcion recursiva o explícita para cada sucesión

Definición del límite de una sucesión

Sea L un número real. El límite de una sucesión {an} es L, escrito como limnan=L

Si para cada ε>0 existe M>0 tal que |anL|<ε siempre que n<M. Si el límite L de una sucesion existe, entonces la sucesión converge a L. Si el límite de una sucesión no existe, entonces la sucesión diverge.

Límite de una sucesión

Sea L un número real. Sea f una función de una variable real tal que limxf(x)=L

Si {an} es una sucesión tal que f(n)=an para cada entero positivo n, entonces limnan=L

En resumen, las sucesiones son funciones cuyo dominio está acotado a los enteros positivos.

Propiedades de los límites de sucesiones

Sea limnan=L y limnbn=K

  1. limnan±bn=L±K
  2. limnanbn=LK
  3. limncan=cL
  4. limnanbn=LK, bn0, K0

Hallar el límite de la sucesión cuyo término enésimo es

Sucesión monótona

Una sucesión {an} es monótona si sus términos son no decrecientes a1a2a3an O si sus términos son no crecientes a1a2a3an

Determinar si la sucesión al enésimo es monótona

Sucesiones monótonas acotadas

Si una sucesión {an} es acotada y monótona, entonces converge.

Determinar si las sucesiones siguientes convergen o divergen

Números triangulares

Los números triangulares son aquellos que pueden recomponerse en la forma de un triángulo equilátero.

Sucesión triangular
Los primeros seis números triangulares. De Wikimedia Commons
T=n(n+1)2

Números cuadrados

Los números cuadrados son aquellos que pueden recomponerse en la forma de un cuadrado.

Sucesión cuadrado
Los primeros cuatro números cuadrados. De Wikimedia Commons
T=n2

Números pentagonales

Los números pentagonales son aquellos que pueden recomponerse en la forma de un pentágono.

Sucesión pentagonal
Los primeros cuatro números pentagonales. De Wikimedia Commons
T=n(3n1)2

Sucesiones acotadas

  1. Una sucesión {an} es acotada superiormente o por arriba si existe un número real M tal que anM para todo n. El número M es llamado una cota superior de la sucesión.
  2. Una sucesión {an} es acotada inferiormente o por abajo si hay un número real N tal que anM para todo n. El número N es llamado una cota inferior de la sucesión.
  3. Una sucesión {an} es acotada si lo esta superior o inferiormente.

Teorema del encaje

Sea limn an=L=limn bn

Y existe un número entero N tal que cncncn para todo n<N, entonces limn cn=L

Series

Una serie es una suma parcial, que es la suma de los primeros n términos de una sucesión, denotada mediante Sn. O de forma más general, considere la serie infinita a1+a2+a3++an Que también se indica mediante k=1ak o ak Entonces, la serie es la n-ésima suma parcial dada por Sn=a1+a2+a3++an=k=1ak

Una aplicación de las sucesiones es la representación de «sumas infinitas». Informalmente, si an es una sucesión infinita, entonces: n=1 an = a1+a2+a3++an es una serie infinita, o simplemente serie.

Definición de serie convergente

Dada una serie infinita n=1 an, la n-ésima suma parcial está dada por Sn= a1+a2+a3++an Si la sucesión de sumas parciales {Sn} converge a S, entonces la serie n=1 an converge. El límite de S se le llama suma de la serie.

Es decir, si se observa que la serie se va aproximando cada vez más a un valor, tenemos que la serie converge, de lo contrario, si la serie va alejándose cada vez más del origen, entonces diverge.

Definición de serie divergente

Dada una serie infinita n=1 an, la n-́esima suma parcial está dada por Sn= a1+a2+a3++an Si la sucesión de sumas parciales {Sn} diverge, entonces la serie diverge. Una serie divergente no tiene suma.

Propiedades de las series infinitas

Sea an y bn una serie convergente, y sea A, B y c números reales. Si an=A, y bn=B, entonces la serie siguiente converge a las sumas indicadas.

Teorema del límite del n-ésimo término

Si n=1 an converge, entonces limn an=0

Criterio del n-ésimo término para la divergencia

Si limn an0 entonces n=1 an diverge.

Serie geométrica

Una serie de la forma k=1 ark+1 = a+ar+ar2+ar3++arn , o bien n=0 arn = a+ar+ar2+ar3++arn Donde a0 es una serie geométrica.

Convergencia de una serie geométrica

Una serie geométrica de razón r diverge si |r|1. Si 0<|r|<1, entonces la serie converge a la suma: n=0 arn = a1r , cuando 0<|r|<1

Determinar si las sucesiones siguientes convergen o divergen

Determinar los elementos de la serie geométrica, y si la serie converge o diverge

Serie armónica

Una de las consideraciones que hay qué tener para el criterio del n-ésimo término para la divergencia es cuando se presenta una serie del tipo n=11n A esta serie se le conoce como serie armónica y es divergente.

Teorema: agrupación de términos en una serie infinita

Los términos de una serie se pueden agrupar de cualquier manera (siempre que el orden de los términos se mantenga) y la nueva serie convergerá en la misma suma que la serie original.

Serie P

Un tipo de serie que admite un criterio aritmético de convergencia o divergencia muy sencillo es una serie que tiene la forma n=11np=11p+12p+13p+ Es una serie p donde p es una constante positiva.

Cuando p=1

Entonces la serie p resulta en n=11n

La serie armónica es un caso particular de una serie p, su forma general es 1an+b

En música, las cuerdas del mismo material, diámetro y tensión cuyas longitudes forman una serie armónica producen tonos armónicos.

Convergencia de series P

Una serie p converge si p>1, y diverge si 0<p1

Determinar si las sucesiones siguientes convergen o divergen

Series de términos positivos

Cuando se analiza una serie, lo que nos importa conocer son, por lo regular, dos cosas: ¿la serie converge? Si converge, ¿cuál es la suma? Si se pueden reconocer series cuyos términos sean positivos o no negativos, se pueden establecer criterios para determinar la convergencia de éstas.

Criterio de la suma acotada

Una serie an de términos no negativos converge sí, y solo si sus sumas parciales están acotadas por arriba.

Dicho de otro modo, sea Sn=a1+a2+a3++an Si an0, esta serie convergerá si existe un número U tal que SnU para toda n.

Criterio de comparación ordinaria

Suponga que 0anbn para nN.

Gráfica
Gráfica del criterio de comparación ordinaria. En la gráfica podemos ver tres funciones, donde una función ((1)xx!, representada en azul) que está entre otras dos que convergen (1x!, representadas en rojo, y 1x!, representada en verde), también convergerá al mismo valor.

Serie telescópica

La serie geometrica es una de las pocas series que admiten una formula explicita Sn; otro tipo de serie que tiene una fórmula explícita es la telescópica o colapsante. n=11(n+1)

Criterio del cociente o de D'alembert

Sea an una serie de terminos positivos, y supóngase que limn an+1an =ρ

Determinar si las sucesiones siguientes convergen o divergen

Aproximación a una función mediante una serie de potencias

Dada una función 𝑓, ¿podemos representarla mediante una serie de potencias en x? ¿O de forma general en el intervalo x-a?

Serie de Taylor

Si 𝑓 tiene n derivadas en a, entonces el polinomio Pn(x)= 𝑓(a)+ 𝑓(a)(xa)+ 𝑓′′(a)2! (xa)2 + + 𝑓n(a)n! (xa)n se le llama polinomio de Taylor de grado n para 𝑓 en el punto a.

Serie de Maclaurin

Si 𝑓 tiene n derivadas en a=0, entonces el polinomio Pn(x)= 𝑓(0)+ 𝑓(0)(x)+ 𝑓′′(0)2! (x)2 + + 𝑓n(0)n! (x)n se le llama polinomio de Maclaurin de grado n para 𝑓 en el punto a.

Encuentre el polinomio de Maclaurin de grado 5 para la funciones siguientes

Encuentre el polinomio de Taylor de grado 5 para la función siguiente, cuando a=π6

Encuentre el polinomio de Taylor de grado 5 para la función siguiente, cuando x=4

La importancia de las aproximacionesa las funciones es la simplificación. Una función que puede ser compleja de tratar en algún caso, como pueda ocurrir con las funciones trigonométricas, puede ser prácticamente equivalentes cuando acotamos el dominio, como se muestra en la imagen siguiente.

Gráfica
A medida que aumenta el grado del polinomio de Maclaurin, se aproxima a la función. Se ilustran las aproximaciones de Maclaurin a sin(x) (en negro), centradas en el origen, de grados 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13 De Wikimedia Commons