Integral definida e indefinida

Área

En la geometría euclidiana el tipo más simple de región plana es el rectángulo. A partir de dicha figura nos es posible definir las fórmulas del área de otras figuras, como, por ejemplo, el triángulo.

Método de exhaución

Una vez que se conoce el área de un triángulo, es posible encontrar el área de cualquier polígono regular si se subdivide a éstos en triángulos.

A partir de este supuesto, los antiguos griegos lograron encontrar fórmulas generales para secciones cónicas (por ejemplo, el círculo) por medio del metódo de exhaución, descrito por Arquímedes.

Determinación del intervalo Δx

Sea una función evaluada en un intervalo axb.

Para definir este intervalo de forma regular se utiliza la siguiente ecuación: Δx=ban Donde:

Con ayuda del método de exhaución determine el área de la función 𝑓(x)=x2+5 en el intervalo de 0x2.24 por medio de aproximaciones con rectángulos Gráfica

Podemos saberlo simplemente contando los rectángulos completos, o casi completos. En la imagen de arriba, obtenemos que hay al menos 66 de ellos.

Determinación del valor de la función en el intervalo

Para rectángulos inscritos es mi=a+(i1)Δx

Para rectángulos circunscritos es Mi=a+iΔx

Gráfica:

Área de una función por medio de transformaciones

Aproximaciones por suma inferior: s(n)=i=1n𝑓(mi)Δx

Aproximaciones por suma superior: S(n)=i=1n𝑓(Mi)Δx

Donde, Δx es el ancho de la base del rectángulo, y 𝑓, al ser evaluada en un punto, devuelve la altura del rectángulo (inscrito o circunscrito).

Fórmulas de suma empleando notación sigma

Ejemplo Con ayuda del metodo de exhaucion determine el area de la funcion f(x) x^2 En el intervalo de 0≤x≤1